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現代数学で「大域解析学・大域幾何学」と「局所解析学」「基礎解析学」の違いは何かまとめ。多様体上で不連続群を使って微分方程式を調べる

数学の解説コラムの目次へ 現代数学の「大域解析」「大域幾何」とは何なのか,わかりやすくまとめてみた。 大域解析学とは,簡単に言うと: 多様体上の解析学を,大域的に研究する理論。 コンパクトな(閉じた)多様体上で,ラプラス方程式などの楕円型方程…

「微分ガロア理論」とは何か,入門用にわかりやすく解説。「微分方程式が解ける条件」を群論で表現する

数学の解説コラムの目次へ 微分方程式に対するガロア理論,すなわち「微分ガロア理論」について知るためのわかりやすい解説。 歴史的な背景や,数学的なツール,応用例など。 代数的ガロア理論と,微分ガロア理論の違い 群を使って,微分方程式の解きやすさ…

集合論で,超越数全体や無理数全体の集合の基数は「非可算無限」つまりアレフであり、実数全体と同じ濃度を持つ

数学の解説コラムの目次へ 大学で学ぶ「集合位相論」(実数論)で,無理数や超越数の個数がどれぐらい多いかについて。 自然数や実数は無限に存在するが,その「多さ」の質は異なる。自然数は「番号を付けて順番に並べられる」ていどの多さ(=可算)だが,…

岡潔の「多変数複素関数論」の概要に,独学で入門するPDF資料まとめ。解析接続や正則性の概念を多様体上で一般化

数学の解説コラムの目次へ 非常に難解であることで有名な「多変数・複素関数論」(多変数複素解析)。この概要をつかんで入門するためのPDF資料を集めた。 「多変数複素関数論」という分野は,解析学と幾何学の両方をきわめて高度に組み合わせた領域。量子論…

小さな重さの単位の具体例。1ミリグラムは塩10粒,1マイクログラムは砂粒,1ナノグラムは細胞一つの重量と同じ

物理学の解説コラムの目次へ 「ミリグラム」「ナノグラム」などの小さな重量の単位を,身近な具体例で表してみよう。具体的にどれぐらいの重さなのかイメージしやすくなる。 (1) 1グラム・・・1円玉1つ分の重さ (2) 1ミリグラム・・・塩10つぶの…

数学のコラム・分かりやすい解説記事のまとめ目次

本サイト内で,数学のコラム・分かりやすい解説記事の目次。 中学と高校の数学: 大学の解析学: 大学の線型代数・行列論: 数論: 幾何学 代数学: その他,数学に関するまとめ: 中学と高校の数学: 角度を求める,シンプルだが難しい問題「ラングレーの問…

MITの「デジタル信号処理論」の講義動画。Youtubeでフーリエ変換からFFTまでを独学

工学の動画のまとめTOPへ MIT(マサチューセッツ工科大)での 「デジタル信号処理論」の講義動画。ノイズ除去の効用から始めて, FFT(高速フーリエ変換)までを学習できる。 ビデオだけで独学できるように網羅されている。英語だが,工学系の大学生なら聞き…

数学の「調和積分論」についてのまとめ。多様体論・微分幾何学の一分野で,リーマン面の理論を高次元に拡張

数学の解説コラムの目次へ 数学の微分幾何学の一分野である「調和積分論」についてのまとめ。フィールズ賞を授与された日本人の数学者,小平先生が活躍している。 調和積分論の概要について 受賞について 調和積分論の概要について 小平先生の数学と人間像 h…

大学数学のε-δ論法は,関数の極限の定義を厳密化。わかりやすい意味は,yの誤差を小さくするようなxの誤差が存在ということ

数学の解説コラムの目次へ 大学に入学したての数学で, まずつまずくのは,イプシロン・デルタ論法。大学一年生の最難関といってよい。 このε・δ論法,わかりやすく言い換えるとじつは簡単だ。 (1)まずは目的,および普通の定義 (2)わかりやすく言い換…

線型代数・行列論で「行列式」「余因子展開」「クラメルの公式」の関係と,何に役立つのかのまとめ

数学の解説コラムの目次へ 線型代数のつまずきやすい用語 「行列式」「余因子展開」「クラメルの公式」 などをわかりやすく整理する。 (1)「線型代数の目的」は? (2)「逆行列を求めること」に注目すると,「クラメル・余因子・行列式」が現れる (3…

線型代数で像Imと核Kerの意味・イメージをわかりやすく説明。単射かどうか調べる道具で,固有値問題やランク落ちの記述に多用

数学の解説コラムの目次へ 線型代数・行列論を勉強すると出てくる「Ker」と「Im」の意味を,わかりやすく捉え直してみよう。 電通大の中の人も,「核と像は,一番わかりづらい概念」と言っている。 像と核とは何者なのか -UEC Advent Calendar 2013- - 何か…

変分法(変分学)のアプローチでコンピュータビジョン・画像処理を学ぶ講義動画。Youtubeでミュンヘン工科大の講義を視聴

コンピュータビジョンや画像処理を,変分学的な問題(=変分法,Variational Methods)に帰着させて扱う方法を学ぶためのYoutube動画。多変数の解析学の基礎がわかれば視聴できる。 (講義は英語。ただしドイツ人的ななまりがある) なお変分法的なアプロー…

代数学で,「群の表現論」をYoutube動画で学ぶ

Representation Theory (群の表現論)を学ぶための,Youtube講義動画。 前半 1. RT1: Representation Theory Basics 2. RT2: Unitary Representations 3. RT3. Equivalence and Examples (Expanded) 4. RT4.1. Constructions from Linear Algebra (Expanded…

Ikuroさんの数学コラムで,「ラマヌジャン」と「保型形式」に関係したページの一覧

数学の解説コラムの目次へ ラマヌジャンと保型形式について,濃いコラムで学んでみよう。 「ラマヌジャンが編み出した数学上の技巧」: ラマヌジャンが編み出した数学上の技巧(その1) ラマヌジャンが編み出した数学上の技巧(その2) ラマヌジャンが編み…

代数的トポロジー(代数的位相幾何学)のオンライン授業を,Youtube動画で。ホモロジーの入門

「代数的トポロジー」を学ぶためのオンライン講義の動画。ニューサウスウェールズ大の,幾何の授業。 前半 1. AlgTop0: Introduction to Algebraic Topology 2. AlgTop1: One-dimensional objects 3. AlgTop2: Homeomorphism and the group structure on a c…

大学以降の「数学」の勉強に役立つ動画のまとめ

大学の数学を,Youtubeの動画で独学できる。実際に大学で講義している様子を録画したビデオなので, 板書を読めるし,先生の説明も聞ける。 大学生の定期試験・院試対策や,社会人になってからの復習にもどうぞ。これがあれば,通勤・通学中の電車内で, あ…

数学検定の1級を勉強する,問題と解答のYoutube動画

数検1級の勉強の動画。数学検定の頂点に上り詰めるための,計算練習を実物教育で学べる。 前半 1. P6240038 丸善 数検1級問題 2. P6240039 丸善 数検1級問題 3. P6240040 丸善 数検1級問題 4. P6240044 丸善 数検1級問題 5. P6240045 丸善 数検1級問題…

大学の数学で,「微分幾何学」オンライン講義のYoutube動画

数学の動画のまとめTOPへ ニューサウスウェールズ大学の,「微分幾何学」の講義の動画。 前半 1. DiffGeom1: Classical curves 2. DiffGeom2: Introduction to GeoGebra 3. DiffGeom3: Parametrized curves and algebraic curves 4. DiffGeom4: The differen…

フーリエ・ラプラス・z変換の講義を,Youtube動画で。慶応大の「物理情報数学C」

数学の動画のまとめTOPへ 工学の動画のまとめTOPへ 慶応大の物理数学の抗議で,信号処理の基礎についてのレクチャー動画。 前半 1. 慶應大学講義 物理情報数学C 第一回 信号とシステム 2. 慶應大学講義 物理情報数学C 第二回 三角関数と基本周期 3. 慶應大学…

3体問題が解けない証明は,可積分系(力学系・一般力学)での第一積分の探索でわかる

物理学の解説コラムの目次へ 「3体問題」は,解けないことが証明されている。これは「可積分系」に関する力学系の問題。解析力学や数理物理学の中でも,力学系の入門的なトピックだ。(※力学ではなく力学「系」なので注意) (1)なぜ解けないのか? (2…

関数解析学のオンライン講義を,Youtube動画で。コロラド大の授業

数学の動画のまとめTOPへ 大学の数学で,「関数解析学」を学ぶことのできるオンライン講義の動画。コロラド大学での講義の様子。 講義ページ Taught by Dr. Greg Morrow, Math 535, Applied Functional Analysis is an introduction to the basic concepts, …

統計学の基礎の講義を,Youtube動画で。明治薬科大の「DAIWA統計学」

数学の動画のまとめTOPへ 大学の統計学を学ぶための動画。明治薬科大の「DAIWA統計学」の講義。 動画リスト(前半) 1. DAIWA統計学0オリエンテーション@明薬 2. DAIWA統計学1(母集団と標本)@明薬 3. DAIWA統計学2(統計的推定)@明薬 4. DAIWA統計学3(仮…

統計学に関するYoutube動画

数学の動画のまとめTOPへ 「統計学の基本概念」: 1. 統計学は数学なのか https://www.youtube.com/watch?v=uxE7g... 2. 統計学は歴史的産物である https://www.youtube.com/watch?v=T8xOu... 3. 記述統計学と推測統計学 https://www.youtube.com/watch?v=…

偏微分方程式をYoutube動画で勉強

数学の動画のまとめTOPへ 偏微分方程式を勉強できる動画。 commutant氏による。 基礎から輸送方程式へ 1. PDE 1 | Introduction 2. PDE 2 | Three fundamental examples 3. PDE 3 | Transport equation: derivation 4. PDE 4 | Transport equation: general …

慶応大とMITの,「複素解析学」のオンライン講義動画をYoutubeで

数学の動画のまとめTOPへ 慶応大の複素解析の講義。 1. 慶應大学 講義 物理情報数学A 第一回 高校数学からの復習 2010 https://www.youtube.com/watch?v=oLA6E... 2. 慶應大学 講義 物理情報数学A 第二回 オイラーの公式 2010 https://www.youtube.com/watch…

Ikuroさんの数学コラムで,リーマン予想と素数定理に関係したページの一覧

数学の解説コラムの目次へ (1)リーマン予想 リーマン予想が解かれた!(かも): リーマン予想が解かれた!(かも) http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/... リーマン予想が解かれた!(かも・続報) http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/... リーマ…

「圏論」に入門するための勉強会の動画。プログラミング実例を交えつつ学べる

数学の動画のまとめTOPへ ワークスアプリケーションズさんが公開してくれている。全動画へのリンク。 圏論勉強会 第1回 - YouTube https://www.youtube.com/watch?v=uWST7... 圏論勉強会 第2回 - YouTube https://www.youtube.com/watch?v=s-aj6... 圏論勉強…

「圏論で考えよう」のYoutube動画で,圏論の考え方を身につける

数学の動画のまとめTOPへ 「圏論で考えよう」のシリーズ動画で,圏論を学ぶことができる。 動画リスト(前半) 1. 圏論で考えよう01、導入 2. 圏論で考えよう2-1、可換図式 3. 圏論で考えよう2-2、問: 可換図式 4. 圏論で考えよう2-3、解答: 可換図式 5. 圏…

Ikuroさんの数学コラムで,Riemannゼータ関数に関係したページの一覧

数学の解説コラムの目次へ ゼータ関数と解析接続: ゼータ関数と解析接続 http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/... 【1】オイラーの計算 【2】Re(s)>1のとき 【3】0<Re(s)<1のとき(オイラー・マクローリンの和公式) 【4】Re(s)<0のとき(関…

グラフ理論をYoutube動画で勉強。入門からオンライン講義,最先端の研究まで

グラフ理論を動画で勉強。 日本でのグラフ理論の最先端の情報を学ぶ: Ustream.tv: ユーザー preferred: 大規模グラフアルゴリズムの最先端, Recorded on 12/01/12. コンピュータ http://www.ustream.tv/recorded/19713623 グラフ理論で最適な計算法を考える…

擬似逆行列・一般化逆行列は,画像処理や計測工学・ロボット工学で応用される,最小二乗法による誤差最小の逆行列

数学の解説コラムの目次へ 「一般化逆行列」とか,「擬似逆行列」という行列の工学上のツールがある。この行列を理解するために必要な情報をまとめた。 (1)「一般化逆行列」(擬似逆行列)とは何か? (2)どのような計算により,二乗誤差を最小化するの…

グリーン関数の意味は,点電荷が作る静電ポテンシャル。電磁気学や量子力学で線形作用素の逆演算

数学の解説コラムの目次へ 微分方程式を解くためのツールとして, 物理学でよく現れるのがグリーン関数。グリーン関数はよくわからない,という人が多い。しかし,物理的なイメージを把握すれば理解できる。 電磁気学でグリーン関数が出てくるのは,ポアソン…

大学の物理数学で,「ベクトル解析」の授業をオンライン動画で勉強。龍谷大のYoutube講義

数学の動画のまとめTOPへ 多変数の微積分を学んだ,理工系大学2年生向けの「ベクトル解析」の授業。龍谷大のオンライン講義動画。 動画リスト(前半) 1. 大学 講義 ベクトル解析(2005)L01 ベクトル場を描こう 2. 大学 講義 ベクトル解析(2005)L02 極座標に…

微分形式をYoutube動画で勉強

かなり詳しく学べる動画。(英語) 1. Intro to differential forms (part 1) https://www.youtube.com/watch?v=M5wrn... 2. Intro to differential forms (part 2) https://www.youtube.com/watch?v=qCE5b... 3. Intro to differential forms (part 3) http…

生物統計学や分子系統学を,九州大のオンライン講義動画で学ぶ

数学の動画のまとめTOPへ 九州大のオンライン講義「生物統計学」の動画。 動画リスト(前半) 1.系統推定論概論:系統樹による多様性情報の可視化 (三中 信宏 先生) - YouTube https://www.youtube.com/watch?v=6WgsO... 2.ソフトウェアの導入と動作確認(…

微分形式・外積代数・外微分等を使う微分幾何学。物理法則をシンプルに記述

数学の解説コラムの目次へ 微分形式・外積代数と外微分は,微分幾何学のツールであり,これを使うと「物理学の諸法則をシンプルに美しく記述できる」というメリットがある。以下でそれぞれ意味を解説。 物理法則をシンプルに書ける「微分形式」 微分形式同士…

線形の微分方程式,動画で例題を解いて勉強。Youtubeのはんぺんロボットへのリンク

数学の動画のまとめTOPへ 線形の微分方程式の例題を解く動画。(各動画のタイトルに番号がついていない) 動画リスト(前半) はんぺんロボット 微分方程式とか - YouTube https://www.youtube.com/watch?v=u_Te4... はんぺんロボット 微分方程式 定数変化法…

Youtubeで,慶応大の「数値計算法」の講義動画

数学の動画のまとめTOPへ 慶応大の「数値計算法」の講義動画。MATLABを使った数値計算による微積分など。 数値計算の入門 1. 慶應大学 理工学部 講義 数値計算法 第一回 数値計算法の基礎 2. 慶應大学 理工学部 講義 数値計算法 第二回 行列演算の基本 MATLA…

全微分とは偏微分の線形和で,意味は「変化の原因」を全て足し合わせること

数学の解説コラムの目次へ 大学で学ぶ微積分の重要キーワード「全微分」について,イメージをわかりやすく解説する。 (1)「変化の理由」を全て考慮したトータルの変化量=全微分 (2)「細かいものが複数,組み合わさる」という時に全微分が必要 (3)…

繰り込み理論は,場の量子論の摂動の紫外発散を解決し,量子電磁力学を成立させる

物理学の解説コラムの目次へ 量子電磁気学を考えるためには,「繰り込み理論」が非常に重要なキーポイントだ。発散の問題を解決するためにどうしても必要な数学的なツール,それが繰り込み。 量子電磁気学に不可欠な「繰り込み」 解決というより,一つの数学…

大学の数学で,一変数と多変数の微積分の講義を,Youtubeの動画で学ぶ

数学の動画のまとめTOPへ 1変数の微積分,および多変数の微積分。 筑波大での講義(前半,微分) 1. 微積分I (2012) (1) ガイダンス (Calculus I (2012), Lecture 1) 2. 微積分I (2012) (2) 集合, 実数の構成 (Calculus I (2012), Lecture 2) 3. 微積分I (2…

熱拡散がテーマの微分方程式を,Youtubeの動画で学ぶ。慶応大学「分布系の数理」の全動画へのリンク

数学の動画のまとめTOPへ 熱拡散という物理現象をテーマに,物理現象の微分方程式の扱い方を学べる。 拡散型の問題からスタート 1. 慶應大学講義 理工学部 分布系の数理 第一回 拡散型の問題 https://www.youtube.com/watch?v=-Vj6r... 2. 慶應大学講義 理工…

行列論と「線形代数」の講義を動画で学ぶ。Youtubeで大学の授業を勉強

数学の動画のまとめTOPへ 大学で学ぶ行列論・線型代数を,オンライン講義で独学で習得する。 行列論をマスター HALU0331さんによる「線形代数の基礎の復習」(行列論): 線形代数の基礎の復習1 - YouTube 線形代数の基礎の復習2 - YouTube 線形代数の基礎…

慶応大の「応用確率論 講義」の,全動画へのリンク集

数学の動画のまとめTOPへ 慶応大の「応用確率論」の講義動画。内容としては,確率論の工学的な基礎を復習することから始め,確率過程論や,最後には統計的信号処理も含まれている。 まず,確率論の基礎から 1. 慶應大学講義 応用確率論 第一回 概要、事象と…

慶応大の「ガロア理論講義」の動画と,講義ノートPDF

数学の動画のまとめTOPへ 慶応大でのガロア理論の講義の実況ビデオ。無料でYoutubeでガロア理論をここまで詳しく学べるのはありがたい。線型代数に続く多項式論や,代数的数論,また群論の導出される必然性などを学ぶのに最適。 動画の一覧 1. 【ガロア理論…

「圏論」は関数プログラミングの「モナド」に役立つ。入門PDF等のリンク集

数学の解説コラムの目次へ 圏論を学ぶ目的は,HaskellやScalaなどの関数型プログラミング言語をよく理解するため,としてよい。モナドを実装するために必要という応用がある。 オンラインで圏論を学ぶための教科書: 役に立つ読み物 関数プログラミングと関…

「ヒルベルトの基底定理」は,不変式論の神学的なほど抽象的なすごい定理

数学の解説コラムの目次へ 数学者ヒルベルトが証明した1つの定理について,さまざまな言い換え方法がある。 「多項式」という語を使って述べた場合: 「多項式環の任意のイデアルは有限生成である。」 「多項式環のイデアルを、連立方程式のかわりに使って…

ガロア理論の,入門用教科書・講義ノートのpdfと動画。群論の応用として勉強

代数学の重要な分野であるガロア理論について,独学で勉強するための道具。ウェブ上で無料で手に入る教科書のPDFや,レクチャーの動画など。 概要を知ろう 理論の概要: ガロア理論 - Wikipedia http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A... オンラインで独学…

自然対数の底e(ネイピア数)の,無理数や超越数・極限収束の証明などの公式

数学の解説コラムの目次へ ネイピア数 e の性質について。自然対数の底 e がどうやって発見されたかなど。 eの性質が発見されてきた経緯まとめ eの発見 微積分でもeが現れる 数論的な超越性 eの性質が発見されてきた経緯まとめ 下記にeの基礎的な性質や諸公…

ソーシャル・ゴルファー問題とは,「全員が皆とペアになれるグループ分け」の組み合わせ最適化問題 (Social Golfer Problem, SGP)

「全員が皆とペアになれるグループ分け」の組み合わせを考えてみよう。 問題設定 全部で32人いるとして,これを毎週グループに分ける。グループに分ける際,各メンバーが他の人とできるだけ多く組めるようにし, 最終的には他の全員とペアになれるようにした…