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ビエタの公式は,円周率を2のルートだけで無限積表示する,面白い公式

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円周率πについて,下記の式が成り立つ。

ビエタの公式

\displaystyle{}\frac{2}{\pi}=\frac{\sqrt{2}}{2}{}\cdot{}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}{}\cdot{}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\cdot\cdot\cdot

2のルートをどんどん入れ子にして,入れ子の深さを深めていったものを積にすると,円周率が現れる。

とても不思議な公式だ。

どうやって導出するのか?

証明のためには,三角関数の倍角の公式と,半角の公式を使う。

出発点は sin π/2 で,これを倍角の公式で次々に切り開いて行き,sin の角度を半々にしてゆく。


それに伴い,cos の角度が半々になったものがあらわれるが,

これは cos の半角公式で計算できる。


最後に,x / sin x の極限を使う。

意外と簡単に導出できる。

詳しい情報:

Vieta's Formula for Pi - ProofWiki
http://www.proofwiki.org/wiki/Vieta%2...


Viète's formula - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Vi%C3%A8...

  • infinite product of nested radicals representing the mathematical constant π


ビエタの公式
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiw...

  • これは立派に東大の問題の別解になっています


3.4.2  倍角の公式・半角の公式  - RAVCO
http://www.ravco.jp/cat/view.php?cat_...

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