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全微分とは偏微分の線形和で,意味は「変化の原因」を全て足し合わせること

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大学で学ぶ微積分の重要キーワード「全微分」について,イメージをわかりやすく解説する。

(1)「変化の理由」を全て考慮したトータルの変化量=全微分

物事には,変化の理由がたくさんある。

  • 変化の理由を1つだけに絞ったのが偏微分。
  • 変化の理由を全て考慮したのが全微分だ。


だから,部分的な性質を調べる時には偏微分を使う。

全体的なトータルの変化を計算する時には,全微分を使う。


そして,部分的な変化の合計が全体の変化になるので,
全微分を求めるためには偏微分を足し合わせることになる。
というわけだ。


2変数の関数で考えると,もし連続であれば「全微分」の増分は,
まずx方向の増分を考えてからy方向の増分を足す,という操作で求められる。

この順序は入れ替えてもよい。


要は,偏微分の影響を足し合わせれば,トータルの変化量として全微分が求まるということ。

zen
http://www.geocities.co.jp/Technopoli...

  • xとyをそれぞれ微少量だけ増加させたときのf(x, y)の増加量dfは、x方向の増分\partial f/\partial xdxと、y方向の増分\partial f/\partial ydyの和で表されます。
  • よって、df=\partial f/\partial x dx + \partial f/\partial y dyとなります。これが、全微分の公式のグラフ上での意味です。


全微分と計算|SystemTradingのブログ
http://ameblo.jp/hsf-systemtrading/en...

  • 全微分とは, 各々の変数の偏微分の合計

(2)「細かいものが複数,組み合わさる」という時に全微分が必要

微小な誤差が複数だけ組み合わさる場合の計算問題に,全微分は役立つ。

誤差の線形和を作る際には,偏微分を係数とすれば良い,というのが全微分の使いどころなので。

基礎数学演習I
http://racco.mikeneko.jp/Kougi/98s/Ki...

  • 2変数関数のそれぞれの変数に,0.1%と0.2%の誤差がある時,函数全体の誤差はいくつか,という問題。


5_全微分.dvi - chem_math5a.pdf
http://www.ge.ce.nihon-u.ac.jp/~kiyon...

  • 小数の組み合わせの近似値を求める問題。小数を,計算しやすい値と誤差の組み合わせとみなせばよい。

(3)定義に惑わされるな

「全微分可能」の定義の意味は,少し分かりづらいが,実はたいしたことはない。


一変数の微分の定義が,( f(x + h) - f(x) ) / h の極限だったことを思い出そう。


これを二変数やそれ以上に拡張すると,分母に√(h^2 + k^2)が出てくる。

これは,「変数の移動分の距離ないしノルムを,
一変数にも多変数にもあてはまるように定義した」
というだけのことで,深い意味は考えなくてよい。

全微分
http://www.cfv21.org/phys/totaldif.htm

  • 全微分可能というのは、曲面の接平面が存在することを意味します。


偏微分と全微分 : kei@sodan
http://funini.com/kei/math/analytic3....

  • 「全微分不可」というのは、例えばサイコロの頂点を考えて下さい。この点は偏微分もできません
  • 「偏微分可能だけど全微分不可能」ってのは、サイコロの辺のところを考えてみよう。


(4)全微分が使えると便利

全微分が使える状況下では,積分は経路に依存しない。

全微分に関するメモ - Total_derivative.pdf
http://kisokouza.island.ac/documents/...

  • しかしながら、全微分が得られるような関数では、積分値は始点と終点のみにより一意に決定することができ、そこに至る経路に依存しないことが保障されている。
  • 熱力学で用いられる各種の関係式のほとんどは多変数関数であり、これらの式展開を行う際に、全微分の考え方は非常に重要
  • また、熱力学においては、全微分可能な関数によって決められる物理量を状態量と呼ぶ。これは、系の状態だけで一意に決まり、過去の履歴や経路には依存しない物理量のこと


完全微分
http://jaguar.eng.shizuoka.ac.jp/lect...

  • 不完全微分は積分経路を指定しない限り不完全である. しかし, 完全微分に対しては, 積分経路を指定する必要はない.

全微分は線積分でも役立つ。

全微分について復習してみる - jun_dowの日記
http://d.hatena.ne.jp/jun_dow/2012103...

  • 全微分を線積分すると,初期状態から終了状態までの差分になる。グラディエントとdrの内積を線に沿って積分する。実際の計算は媒介変数を介して行なう。



高階の全微分は,d^n f = (dr・∇)^n f として計算できる。

http://www.iwata-system-support.com/C...

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