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岡潔の「多変数複素関数論」の概要に,独学で入門するPDF資料まとめ。解析接続や正則性の概念を多様体上で一般化

数学 気になったので調べてみた

数学の解説コラムの目次へ

非常に難解であることで有名な「多変数・複素関数論」(多変数複素解析)

この概要をつかんで入門するためのPDF資料を集めた。


「多変数複素関数論」という分野は,解析学と幾何学の両方をきわめて高度に組み合わせた領域。

量子論への応用もある。


日本人の数学者「岡・潔(おかきよし)」が作り出した。

岡潔先生は,研究に没頭するあまり変人・奇人だった,ということがよく知られている。


「多変数関数論」とは,「正則領域を調べる理論」である

かんたんにいうと,

  • 多変数の複素函数が正則であるのはどんな場合か?

という疑問からスタートしている。


「最近の多変数関数論」(1985年,梶原譲二先生)
https://www.jstage.jst.go.jp/article/...

  • 岡潔から数十年間に渡る多変数関数論の研究の進展に関するレビュー。


以下は,要所のみの抜粋。

多変数関数論の発展の歴史について,概要を知ることができる。

  • 正則関数の定義

複素平面Cの開集合で定義された複素数値関数の正則性には,局所的に整級数で表されるもの,Cauchy-Riemann(CRと略称)の偏微分方程式をみたすもの,複素的に微分可能なもの,という3通りの定義がある。…
正則関数の定義において既に関数論は代数,代数幾何,位相幾何,微分幾何,微分方程式との固いきずなをもつ。
まず1変数の場合に短絡的合理性を追求する1950年代のアメリカにてStokesの定理等の微分幾何の手法でRieszの定理よりRungeの問題を論じる関数論の講義が関数解析の人を中心としてなされていた。…この微分幾何と関数解析の手法が1960/70年代の多変数関数論の武器となった。

 

  • 多変数関数論の三大問題

Hartogsによれば,正則関数の存在領域である正則領域は空の食器を含めばその中身も含むという凸性に似たしかも解析的変換によって不変な擬凸性がある。
岡潔は1953年 C^nの上の擬凸領域は正則領域,即ちSteinであることを示し,Hartogsの逆(即ちLeviの問題)を解決した。その際 多重劣調和関数,即ち,(∂^2p/∂z_j ∂z~_k) が半正定値である様な関数pを駆使している。
岡は,極や零点を局所的に整合性を持つように指定して大域的有理型関数を作るCousin問題,より広い領域で正則な関数で近似するRungeの問題も解き,多変数関数論の土台を作った。
岡の結果の一般化に最も力を注いだのはGrauertである。…

フランス留学より帰り多変数関数論の研究を始めた岡潔がその真価を認められるには多くの年月を要した。昭和22年頃 岡の論文を読んでいた本邦の数少ない数学者に大西英一,河合良一郎,一松信がいる。24年の国際整数論学会にてSiegel, Weil等が外国での岡の評価を日本数学会幹部に伝え,岡を評価する方向に流れを変えた。秋月康夫の働き掛けもあり29,30年 岡は京大で非常勤講師として講義を,31から39年までセミナーを行ない,後進の育成に努めた。

 

  • 幾何学的関数論

中野茂男は秋月を経由して岡の講義を聞いたが,昭和35年より非コンパクトの見地から多変数に近づく。45年から49年にかけて,弱1完備複素多様体の消滅定理を得て,モノイダル変換の逆問題を解き,弱1完備の有効性を認識させた。…

 

  • 核関数と代表領域

高次元の値分布論は岡潔の最後の論文にその着想が示され,西野等が継承した。…

 

  • 代数幾何学的関数論

一松信は岡の論文とSeminaire Cartanより多変数の研究を始め,Leviの問題を研究,擬凸領域の正則性をCousin-I性で特徴づけ,擬凸性を2次元の切り口の正則性で特徴付け,Leviの問題を代数的問題に帰着させた。…
小平邦彦の影響の下でのコンパクト複素多様体論の展開は,楕円曲面や多種数の飯高茂,一般型曲面の堀川頴二・宮岡洋一,VII_0 型曲面の井上政久,Cusp特異点の中村郁等の曲面論と,小平次元を導入した飯高,上野健繭,川又雄二郎,藤田隆夫等の双有理幾何学の研究に分類されよう。

 

  • 解析的対象と正則領域

1変数の場合はWeierstrassの定理よりCの任意領域は正則領域であるが,多変数の場合はそうでないので,正則領域の研究が最も基礎的である。多変数関数論は正則領域の理論として興り,岡潔はその三大問題をC^n の上で解いた
昔,収束整級数を中心と併せて考え,関数要素と呼んだが,収束円は整級数ごとに異なる。中心を動かしたとき,岡が不定域イデアルとして捉えた算術概念は今の言葉では層である。…
岡の独自な手法はcartan, Serreにより代数幾何学的理論に止揚され,西洋数学に取り込まれた。岡の成果は昭和30年代の末までにGrauert等によりStein空間まで拡張された。
筆者の世代にとり,多変数関数論とは正則領域論に他ならない。伝統的関数論の研究は国外でもDiederich, Fornaess, Narasimhan, Siu, Skodaにより精力的に進められた。…

宇宙がnon compactで,自然は解析的であるとの信念の下では,自然は無限次元の複素解析で捉えねばならぬ。もち論ヒトは無限を思考できても実行することはできぬので,究極においては有限で近似する以外にない。無限次元複素解析はBremermann, Lelong等により始められ,Dineen, Gruman, Noverraz等が発展させた。梶原は有限開位相をもつ擬凸領域にて岡の原理をえた。

 

  • 整関数論

数学は具象と抽象の間の螺旋を弁証法的に発展する。抽象化を生け花と断じた岡潔は最後の論文でその行き過ぎを雪景色にたとえて嘆いた。運動選手が記録を争う様に我々もより一般なより精密な定理を得る様に競うが,具体的な関数論を展開する努力も多変数関数論のもう一つの面である。強擬凸領域の理論を球等で行う試みがそれである。…

 

  • 解析的微分方程式

R.O.Wellsは1982年に,過去15年間,微分幾何,偏微分方程式,代数幾何等の数学の他の分野の同時進行を展望できる若い世代によって多変数関数論が推進された,旨述べている。本文で紹介した仕事も数学の様々な分野との関連をもち,世界の趨勢を裏付けている。もはや数学の分野の中で多変数だけを取り出して論じることはできない。
顕著な傾向は,CR理論を中心とする微分幾何や微分方程式絡みの研究である。これも正則関数の生い立ちからすれば当然であろう。注目すべきは具象性への回帰である。


多変数複素関数論のメイントピックが
「正則領域を調べるための理論」である件について:

Research
https://staff.aist.go.jp/t-yanagisawa...

  • 一変数複素関数に対しては解析接続の原理により関数の定義域を広げていくことができる。
    • それに対し二変数以上の多変数の関数においてはその関数が正則であるような領域を勝手に決める事ができないのである。
  • 多変数複素関数論における正則な領域の問題は,一変数の複素関数とは全く様相が異なっている。
    • この正則領域の問題は20世紀の初め頃に認識され出したが,あまりに難しいために岡潔のためにとっておかれたのである。


多変数複素解析 | 大沢 健夫 | 本 | Amazon.co.jp
http://www.amazon.co.jp/%E5%A4%9A%E5%...

  • 一変数の複素関数に関する基礎理論を多変数の土壌に移植した岡潔の仕事を中心に紹介する。
  • 本書では、正則関数がコーシー‐リーマン方程式の弱解として特徴付けられることを基礎として、関数論における種々の大域的な存在定理を調べる実解析的手法を解説する。

岡潔の理論は,カルタンによって「層のコホモロジー」理論に改変されて世界に流布した

岡潔は「不定域イデアル」を使って理論を構築した。

これを,カルタンが「層の理論」として改変し,その結果有名になった。


「不定域イデアルの理論と多変数代数関数論への道」
評伝「岡潔」のための数学ノートI (高瀬正仁先生)
http://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/mat...

  • 岡潔が理論を提出した当時の様子の,詳しい報告。
    • とくに岡潔の「第7報」について,その内容をカルタンが再構築・改変して流布させたことについて述べている。
  • 平成9年に津田塾大で開催された数学史シンポジウムでの講演の記録。

目次:

岡潔の言葉
 不定域イデアル
 数学の客観的形式と主観的内容
第二期の多変数解析関数論
 ベンケ,トゥルレン「多複素変数関数の理論」に見られる三つの問題
 上空移行の原理
 ハルトークスの逆問題
 「ハルトークスの逆問題」という言葉の初出について
内分岐領域の理論
 不定域イデアルの理論
 グラウエルトの例とグラウエルト・レンメルトの例
カルタンの第二論文「n個の複素変数の解析関数のイデアル」と「複素変数の解析関数のイデアルとモジュール」
 岡潔と複素多様体
多変数代数関数論への道

要点のみを抜粋した引用:

カルタンの論文のテーマは,岡潔の第7報を層の理論の視点から見て解明することで,第7報の書き換えも同じ視点から行われている。
このような形で紹介された結果,第7報のテーマである不定域イデアルの理論は層の理論の萌芽として理解されるようになり,有限擬規定をもつ不定域イデアルは,解析的連接層として諒解されるようになった。
すなわち,不定域イデアルの理論は,「三十年来の同僚である」カルタンによって高い評価を受け,現代数学の流れに受容されたとき,まさしくその瞬間にすでに歴史的遺産へと変容しなければならない運命に置かれたのである。
梶原譲二の証言には,このような趨勢を甘受しようとする岡潔の感慨がよく表れていると思う。…

 
不定域イデアルと層の理論の関係の考察は岡潔の理論を理解するうえで重要なテーマである。…
イデアルの理論は数のイデアルに始まり,多項式のイデアルへと移り,さらに解析関数のイデアルへと変遷した。解析関数のイデアルの場合には,漠然と解析関数の集まりを考えるのは無意味であり,岡潔が言うように,解析関数を考えることのできる場所をつねに念頭に置かなければならない。それが,数のイデアルや多項式のイデアルの場合との本質的な相違点である。…

 
今日,数学の世界に受け入れられている岡潔の理論は,岡潔の数学論文集に描かれた世界そのものなのではなく,カルタンの手を経て書き直された理論である。
一般に流布しているのは「岡の理論」ではなくて,「岡・カルタンの理論」である。

 
岡潔がハルトークスの逆問題を解決したとき,問題を解決した当の本人の主張にもかかわらず,その解決の意味合いはもっぱら「レビの問題の解決」という観点から認識されたように思う。…ハルトークスの逆問題はレビの問題と同じ性格の問題ではあるが,別個の問題であることもまた疑いをはさむ余地はない。…
後期の岡潔がめざした究極の理論というものがある,とぼくは思う。それは,複素解析幾何学と似ているが,同時に明快に非でもあるもう一つの理論,すなわち多変数の代数関数論であろう。

 
岡潔はクザンの問題と展開の問題をテコにして,ハルトークスの逆問題とその解決という雄大な構想を描いたが,これは岡潔に固有の構想であること,すなわち構想それ自体が純粋な独創であることにくれぐれも注意したいと思う。…
他方,カルタンはクザンの研究を幾何学的に解釈して,複素解析幾何学へと進んでいったが,この路線自体はカルタンの独創ではなく,カルタンに先立って二本の有力なレールが敷かれていた。それは,リーマンのアーベル関数論を共通の泉とする二本の道,すなわちイタリア学派の代数曲面論とワイルの位置次元複素多様体論である。カルタンの前には歴史が存在し,カルタンはその歴史の流れを大きく延長することに成功したのである。…

 
カルタンの関心はすでに存在する数学史を延長することにあり,新しい歴史創造の契機を包摂する岡潔の理論の主観的内容には,共感することができなかったのであろう。
そこでカルタンは岡潔の主観的意図が吐露されている箇所を,おそらく不要と見て,削除したり書き換えたりしてしまったのであろう。


層の理論との関連で,

とくに「層係数のコホモロジー」である件について:

日々のつれづれ 数学における抽象化とは何か (3)多変数関数論からの例 岡の理論とカルタンの理論
http://reuler.blog108.fc2.com/blog-en...

  • 多変数関数論と呼んでいる理論の骨格はおおよそ1950年代に形が現われたのですが、岡潔先生とアンリ・カルタンの名を冠して「岡・カルタンの理論」と呼ばれることがあります。
  • 展開されている理論の基礎になっているのは「層」と「コホモロジー」の理論で、それらを合わせると「層に係数をもつコホモロジー」の理論ができます。
  • カルタンは岡先生の「不定域イデアル」の理論を「層係数コホモロジーの理論」と本質的に同じものと見た。


岡潔が業績を残した「多変数複素解析」は、大学院卒理系の自分が...
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/...

  • 数学科出身でないなら難しいかもしれません
    • が、層のコホモロジーの理解があれば読める

岡潔の理論の中核をなすのは,「岡の連接定理」

「多変数解析関数論・学部生へおくる岡の連接定理」
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~noguchi/...

  • 野口潤次郎による。日本で出版されている名著の,序文および目次部分。

引用:

多変数解析関数論は,現代の数学の広い分野に渡り基礎を与える理論となっている.
その最も基本的部分は,岡潔により証明された「連接定理 」にある。

 
本書の目的は,この岡潔の連接定理を, 学部生向けの複素関数論・複素解析学講義として標準的に学習できるように展開することである.
例えば,佐藤幹夫の超関数論の基礎として連接性の概念とそれに基づく正則凸領域上の岡-カルタンの基本定理は正に基本をなす理論となっている.

 
本書の内容は1960年代までに確立したものである.
その主要部分は,岡潔の業績であると言って過言ではないだろう.
その中核をなすのは,岡の連接定理である.

 
岡は重要な三つの連接定理を証明した.
第2連接定理については,岡の第1連接定理の証明を参考にしてH.カルタンも独自に証明を与えた,というのが最も妥当な見方であろう.

 
そのような理由により本書ではこれら一体の三つの連接定理を順に
・岡の第1連接定理(正則関数の層)
・岡の第2連接定理(幾何学的イデアル層(解析的集合のイデアル層))
・岡の第3連接定理(正規化層)
と呼ぶことにした。


上記の書籍のレビューより。

中心をなすのは「岡の連接定理」であり,
その理解のためには層とコホモロジーを学ぶ必要がある:

多変数解析関数論 ─学部生へおくる岡の連接定理─ | 野口 潤次郎 | 本 | Amazon.co.jp
http://www.amazon.co.jp/%E5%A4%9A%E5%...

  • 層とコホモロジーが学部生にも常識となりつつある今日の数学教育の実情を考えれば、複素幾何や代数幾何を始め隣接分野においても非常に有用な言語である連接層とそのコホモロジー理論を、出来るだけ早い段階で習得するのが望ましい
  • 本書は多変数複素解析を初めて学ぶ読者を対象に、岡先生によって発見された3つの連接定理、及び連接層のコホモロジーの消滅を示す「カルタンの定理B」(本書では「岡-カルタンの基本定理」)と有限次元性を示す「グラウエルトの定理」を基幹軸として、この理論の基礎を丁寧に分かり易く解説している。


「岡の連接定理」の具体的な内容:

岡の連接定理 - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B2%...

  • 複素多様体上の正則函数の層は、連接である。


Oka coherence theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Oka_coh...

  • the sheaf of holomorphic functions over a complex manifold is coherent.

多変数の複素函数論を学ぶための数学的な解説

多変数を前提に,複素解析を学びなおすための講義ノート:

「複素解析学特論」
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/web/htdoc...

  • 東大・数学科での複素解析学の講義ノート。1978年の講義内容。
  • 岡潔の理論のことは出てこない。しかし,多変数を前提に複素函数論を入門できる。


要点の引用:

多変数複素解析関数は,解析学のみならず,幾何学や代数学においても,当時既に重要性を増していた。
多変数複素解析函数を調べる事により初めて一変数では自明と目され意識されなかった諸課題が見えてくる事が多々ある。

 
1:
多変数正則関数に於いては,ある領域上の関数が,その個別の関数によらず一斉に,
より大きい領域まで解析接続されると言う現象が起きる.
このようにして各種の接続定理が生まれる一方,
そのような接続をそれ以上できない領域(正則包)及びその特徴付け(正則領域,Stein多様体)の問題が生じる.

 
2:
一般の多次元の複素領域で正則関数や有理関数などの大域的な存在を論じるためには,
局所的なデータを貼り合わせるため,
不可避的にコホモロジカルな視点を導入する必要がある.
また,一変数の微分形式はすべて閉形式であるが,
多変数では閉形式と完全形式等の概念を導入する必要がある.

 
3:複素n次元領域は実多様体としては2n次元で有るにも係わらず,
その上の正則関数は本質的に実n次元のデータから決定されている.
このような次元の“ギャップ”をコントロールするには,
複素領域を一旦は実領域とみなし,その複素構造と比較を行うという視点
(Cauchy–Riemann方程式,∂~方程式,Dolbeaultコホモロジー等)が必要になる.

 
…そこで,講義では,解析関数(正則関数)の概念を一般の次元で導入して,
一変数及び多変数の両者を並行して議論できる所は一般的議論を行う一方,
一変数あるいは多変数に特徴的に現われる現象をトピックとして取り上げていくと言う方針を取った.

岡潔のふしぎな人柄について

奇人であった岡潔の生涯についてのまとめ:

Adachi Page
http://homepage3.nifty.com/kyousei/te...

  • 多変数複素解析関数論に取り組み、1942年頃までに不分岐域における基本的で主要な問題を解決。
    • 戦争を挟んで、田舎にこもり研究と農耕の日々を送りながら独力で不定域イデアルの理論を開発し、いわゆる岡の基本的レンマを局所的であるが、一般な形(内分岐域において)で解決。
    • 日本では理解する者は少なく、世界的評価の高まりとともに、日本でも広く知られるようになる。1960年文化勲章受賞。
  • 湯川秀樹の大学時代に,微積分の演習を担任していたのは、岡潔という若い講師であった。
  • 「岡の基本レンマ」とはいわゆる「上空移行の原理」で、1936年出版の第一論文にその基本形が出ている。
    • 要するに, 「多項式多面体」というかなり一般で複雑な領域で正則な関数は、次元を上げれば(上空移行)多重円板という単純な領域の解析集合上の正則関数になる。
    • それを多重円板全体の正則関数に拡張することが出来るという一種の補間定理である。


【数学】世界一の難問「多変数解析関数論」を解いた数学者、岡潔の顕彰碑が完成 和歌山・橋本市
http://anago.2ch.net/test/read.cgi/sc...

  • 2013年のニュース。岡は世界中の数学者が解けなかった難問「多変数解析関数論」を1人で解明し、昭和35年に文化勲章を受章。
  • 今の高校生は岡潔とか知ってるのかな?
    • 岡ひろみの親戚?くらいにしか思わんだろうな。
  • 岡先生は数学を創造した人であって、解いた人なんかではない。 解いた人よりも、創った人の方が数倍偉い。


もはや変人の域!天才数学者【岡潔】天才ゆえの奇行と思考とは。
http://matome.naver.jp/odai/214182148...

  • 精神を患うほど数学の研究一筋の人生を送る中で、奇行とも言える数々の不思議なエピソードを残している。


文化勲章を受章した時のニュース動画:

【1960年11月3日】 数学者の岡潔さんに文化勲章 - YouTube
https://www.youtube.com/watch?v=s13bP...

  • 2014/11/02 に公開, by 懐かしの毎日ニュース


この理論の発展として「佐藤の超関数論」や「くさびの刃の定理」があり,量子場の理論に役立っている

発展は割といろいろある:

多変数複素関数 - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%...

  • 多変数複素函数論(たへんすうふくそかんすうろん、英: the theory of functions of several complex variables)
  • 発展として、超函数 (hyperfunction) の理論や楔の刃の定理が挙げられるが、それらはいずれも場の量子論からいくらか着想を得たものである。


解析接続の概念の拡張として,
「くさびの刃の定理」について知るためのPDF資料:

くさびの刃の定理とマイクロ函数
https://www.jstage.jst.go.jp/article/...

  • 1973年の論文。

「今から約15年前,場の量子論を研究していた理論物理学者たちが『くさびの刃の定理』と呼ばれる多変数複素関数論の定理を発見した。この定理の新しい解釈と拡張は,超関数論にとって非常に重要である。」


Edge-of-the-wedge theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Edge-of...

  • holomorphic functions on two "wedges" with an "edge" in common
    • are analytic continuations of each other
    • provided they both give the same continuous function on the edge.
  • It is used in quantum field theory to construct the analytic continuation of Wightman functions.


A DETAILED WEDGE-OF-THE-EDGE THEOREM: ANALYTIC CONTINUATION OF MULTIVARIABLE PICK FUNCTIONS IN AND AROUND THE BOUNDARY
http://www.math.ucsd.edu/~jpascoe/wed...

  • In 1956, quantum physicist N. Bogoliubov discovered the edge-of-the-wedge theorem, a theorem used to analytically continue a function through the boundary of a domain under certain conditions.