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線型代数で像Imと核Kerの意味・イメージをわかりやすく説明。単射かどうか調べる道具で,固有値問題やランク落ちの記述に多用

数学 わかりやすく解説 線型代数・行列論

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線型代数・行列論を勉強すると出てくる「Ker」と「Im」の意味を,わかりやすく捉え直してみよう。


電通大の中の人も,「核と像は,一番わかりづらい概念」と言っている。

像と核とは何者なのか -UEC Advent Calendar 2013- - 何かを書き留める何か
http://xaro.hatenablog.jp/entry/2013/...

  • 像と核とは,彗星のように現れて彗星のように去っていく線型代数の講義の中で,一番存在意義がつかめない得体の知れない概念である


核と像がわかれば,「線形写像の大まかな性質」を把握できる。

そうすれば,固有値問題を理解しやすくなり,ジョルダン標準形の仕組みもわかる。

senkII09-k2.pdf
http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~is...

  • 核 Ker( f ) と像 Im( f ) を考える意味は何ですか?
  • 答. 線形写像の特徴を表しているからです.線形写像について「まず最初に調べるべきもの」です.
  • 線形変換の場合は, 固有値,固有ベクトル,固有空間などが「まず最初に調べるべきもの」です.


なのでぜひ,KerとImの苦手意識を克服しよう。

 

(1)Kerについて理解しよう

(1−1)カーネルは「0につぶれてしまう領域」であり,「0を中心とした領域」

y = Ax という線形写像では,0は0に写る。

なぜなら,0に何をかけても0だから。


しかし,0以外のものも0に写る場合がある。

「0に写る集合」は,必ず0を含むのだ。


これは0を中心とした広がりなので,

果物の中心部分にある核または種子(カーネル)と呼ぶことができる。

0つまり原点を中心に考えて,そのまわりに広がっている集合,それがカーネルだ。


カーネルに含まれる部分は,写像によって「外に飛び出して」くれない。

なぜなら,カーネル内の要素に写像を作用させても,0にしかならないのだから。


カーネルは0を含んだ領域であり,0に凝縮されてしまう。

いわば,0につぶれてしまう。

まるで,果物のエッセンスを凝縮した種子(=カーネル)が中心にあるかのように。。。


これがカーネルのイメージである。

y = Ax により,0は0にうつるが,0以外の領域も0になることがあり,その部分をカーネルというのだ。


「0に写る空間」なので,Kerのことを「ゼロ空間」とも呼ぶ。

線形代数II/線形写像・像・核・階数 - 武内@筑波大
http://dora.bk.tsukuba.ac.jp/~takeuch...

  • 核はゼロを含む


ジョルダン標準形のKer(f-αI)について 【OKWave】
http://okwave.jp/qa/q2351834.html

  • 要するに、線形写像Tで移すと、ゼロベクトルに潰れてしまう元を寄せ集めたもの、ということです

零空間 - Wikipedia
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%B...

  • 数学、とくに関数解析学において、線型作用素 A: V → W の零空間(ぜろくうかん、れいくうかん、null space)あるいは核空間(かくくうかん、kernel space)

(1−2)カーネルの広さを調べれば,「単射か?」「ランク落ちが発生するか?」「行列式は0か?」といった情報がわかる

さて,「0は必ず0に写る」わけだが,

0以外のものも0に写る」場合,それは「この写像は単射ではない」ということになる。


0を出力するための入力値が複数あるので,入力と出力が1対1対応ではなくなるため。


だから,ある写像のカーネルの広さを調べて,

カーネルが0以外の要素を含んでいれば,その写像は単射でないのだ。


そしてそのように「単射でない」場合,

この写像には「ランク落ち」が発生しているので,行列式が0という結論がわかる。


つまり,カーネルが 0 以外の要素を含めば
「単射ではない」「ランク落ちしている」「行列式は 0 」
などの有用な結論を引き出せる。


ある行列のカーネルの広さを調べれば,

  • 「単射か?」
  • 「ランク落ちが発生するか?」
  • 「行列式は0か?」

といった情報がわかるのだ。

これがカーネルの情報の役立て方。


カーネルが広ければ広いほど,その写像は単射から外れてゆくということになる。

カーネルは「単射からのずれ具合」なのだ。

核 (数学) - Wikipedia
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A0%B...

  • 数学において、準同型の核(かく、kernel)とは、その準同型の単射からのずれの度合いを測る道具。核が自明な準同型は単射となる。


核空間 像空間とは
http://senkei.nomaki.jp/kernel_image....

  • 線形写像は、その線形性という良い性質により Ker を調べるだけで単射かどうか分かってしまいます。

(1−3)固有値問題は「カーネルを求める作業」。行列式を0とおく理由は,カーネルに0以外の要素が含まれるから

Kerを理解すれば,固有値問題を把握しやすくなる。


行列Aに関する固有値問題は,(A-λE)x=0と書くことができ,

この式は「ある写像の結果,入力xがゼロに写る」という関係を表す。


つまりKerを求める作業なのである。

未知の入力x,すなわち固有ベクトルを求めるのだから。


ここで気づいてほしい。

線型代数で,もしも片方の辺に「=0」が出てきたら,

それは「Kerの存在」を問うている式にほかならない,ということを…。


「右辺の0に写るのは,どんな左辺か?」を考えることになるのだから。

出力が0になるような入力は何か?

それはつまり,「カーネルはどんな形をしているか?」という質問なのだ。


線型代数の式において,Kerがどれほど頻出で,大切かがわかっただろうか。


で,固有値問題は (A-λE)x=0 と書けるから,

(A-λE)のカーネルを求めればよい。


ただしここでは,答として,0でない答がほしい。


既に見たとおり,「カーネルに0以外の要素が含まれる」

これはつまり,この写像は単射でないということだ。


単射でないという事は,すなわち行列式が0だ。

だから,固有値問題を解くためには(A-λE)の行列式を0とおくのだ。

LA3Matome(Eigen).pdf
http://www.xmath.ous.ac.jp/~ike/2011L...

  • ある固有ベクトルの固有値であるということは,0でないベクトルが( λE - A ) v = 0 を満たすということ
  • これは v = Ker( λE - A ) と同じこと
  • λ がみたすべき条件は, Ker( λE - A ) が 0以外のベクトルを含むと いう条件に言い換えられる
  • これは λE - A が表現する線型変換が単射でないという 条件であり,それは行列式による条件 |λE - A | = 0 と同値


質問!ITmedia - 固有ベクトル?
http://qa.itmedia.co.jp/qa3723222.html

  • 線形代数の固有値・固有ベクトルのところの証明問題で Ker(λE-A) というのが多く出てくる
  • これは (λE-A)x=0 の解集合なので、つまり、固有ベクトルの集合を表す
  • ただし正確に言うと,Ker(λE-A) は大抵 {0} になるから、 煩く言えば ≠{0} となるλの場合に固有ベクトル空間と呼ぶ


固有値と固有ベクトル・重解を解に持つ場合の解法 - 数学 | 教えて!goo
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/3654166.html

  • λが固有値のとき (A-λI)x = 0 の解空間が固有空間
  • これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI)


線形代数の用語カーネル(kernel)の使い方で、「正方行列Aの固有値をλと...
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/...

  • Ker(A-λE) の零でない元を固有ベクトルといいます

(2)Imについて理解しよう

(2−1)Im は「出力の取りうる幅」のこと。rankの実体でもある

Kerは「出力が0になってしまう入力」のことだった。

つまり入力側の情報である。


それに対し,Im は「出力の取りうる幅」のこと。

入力ではなく,出力に注目した情報である。

y = A x で,出力 y が取りうる領域のこと。


「A x = b が解ける場合の b の集合」ともいえる。

Ker(核)やIm(像)の意味がわからない。 - 数学 | 教えて!goo
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/4484056.html

  • Ker(A)は、連立方程式Ax=0の解xの集合
  • Im(A)は、Ax=bが解ける場合のbの集合


線形代数について質問です。Im とKer の意味がよくわからず、次の問題の...
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/...

  • 「Im」とは、その線形写像がどれだけ元の定義域の大きさを再現できるか
  • 「Ker」とは、その再現における欠損部分


そして,Imの次元のことをrankと呼ぶのだ。

行列の基本変形で生き残る行の数,ということ。

線形代数学の理解がグングン進むポイント(画像あり) | 大学生の生情報
http://www.dai-gaku.org/linearalgebra/

  • 像の次元 dim Im f を rank f と表記します
  • これは写像fを行列とみなしたときの、行列の階数(rank)と一致

(2−2)写像によって生き残るImの次元と,つぶれてしまうKerの次元を足すと,全体の次元になる。生き残る次元+つぶれる次元=全体

タイトルどおり。

Imの次元(階数,rank)と

Kerの次元(退化次数)を足すと,全体のもとの次元になる。


ある写像によって生き残る部分(階数)もあれば,0につぶれる部分(退化する部分)もあり,

その次元の大きさを合計すれば,行列の大きさ(=列の数)に等しくなるのだ。


これが階数退化次数定理

線形代数III演習講義内容
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tange/...

  • null(f)=dim(Ker(f))  退化次数
  • rank(f)=dim(Im(W))  階数
  • このとき、以下の式が成り立つ. null(f)+rank(f)=dim(V)
  • つまり、連立方程式 Ax = 0 の解の次元(解の自由度)は n - rank(A) だけあるという公式
  • A を行の基本変形により簡約化していくと、最終的に縦ベクトルに基本ベクトル(標準基底)が 現われる部分とそうでない部分に分かれます. 前者の数が rank(A) で、後者は解の自由度に相当
  • 退化次数・・・解の自由度とも言いますが、f を施して 0 になってしまう(f の像において無効化される)空間の次元のことです.
  • 階数・・・逆に、 f を施しても生き残ってくる空間の次元のことです.


線型写像 - Wikipedia
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9...

  • f のそれぞれ階数 (rank)、退化次数 (nullity) と呼ばれ、有限次元のときには \dim V = rank(f)+nul(f) なる等式を満足する(階数・退化次数 定理)。


この定理は「次元定理」と呼ばれることもある。

次元定理の意味,具体例,証明 | 高校数学の美しい物語
http://mathtrain.jp/ranknullity

  • Wikipediaでは「階数・退化次数の定理」と呼ばれています。


数学たんさんはTwitterを使っています
https://twitter.com/suugakutan/status...

  • 7次元を5次元に潰したら, 2次元が一点に集まった」程度の自然な定理だ.


こういった事項を前提として,KerやImの記法に慣れておけば,

ジョルダン標準形の細かい仕組みを議論するためにKerやImがたくさん出てきても,無事に飲み込めるだろう。


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