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大学数学のε-δ論法は,関数の極限の定義を厳密化。わかりやすい意味は,yの誤差を小さくするようなxの誤差が存在ということ

数学 数学公式 わかりやすく解説

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大学に入学したての数学で, まずつまずくのは,イプシロン・デルタ論法

大学一年生の最難関といってよい。


このε・δ論法,わかりやすく言い換えるとじつは簡単だ。

(1)まずは目的,および普通の定義

ε・δ論法では,グラフではなく論理記号を使い,極限を厳密に定義する。

グラフを使わないおかげで,グラフが書けないような関数に対しても極限を計算できる。


その定義は,数列に対する「イプシロン・エヌ論法」と同じだ。

イプシロン・デルタ(ε-δ)論法 | JSciencer
http://jsciencer.com/unimath/bisekibu...

  • 数列の極限を考える際、 「イプシロン・エヌ論法」 という考え方を導入し定義しました。
  • 関数の極限を考える際は 「イプシロン・デルタ論法」 という考え方を導入します。
    • ただ離散値(エヌ)が連続値(デルタ)に変わっただけで,考え方はイプシロン・エヌ論法と同じです。


高校生,大学生のためのε-δ論法の解説
http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/de...

  • 「連続」とは、ただ単に「途切れずに繋がっている」 という曖昧なものでは許されない.


超準解析2
http://members.jcom.home.ne.jp/122818...

  • ε−δとは、極限という概念を、収束という点列の動きによって捉える方法である

しかし,数式と論理記号だけではイメージがわかない。

定義を字ヅラ通りに受け止めると理解が進まないのだ。

(2)わかりやすく言い換えると,「いくらでも誤差を小さくできる」ということ

で,わかりやすくイプシロン・デルタを言い換えると

  • 「yの誤差」をいくらでも小さくできるような「xの誤差」が必ず存在する

という意味だ。


ここで,「yの誤差」とはεのこと。

「xの誤差」とはδのことだ。


タテの誤差であるεをいくら小さくしても,
ヨコの誤差であるδも,それに対応して小さくできるよ
ということ。

ε-δ論法とは (イプシロンデルタロンポウとは) [単語記事] - ニコニコ大百科
http://dic.nicovideo.jp/a/%CE%B5-%CE%...

  • 「任意の正の数εに対して、”全ての実数xにおいて、xとaの誤差がδ未満ならば, f(x) とbの誤差がε未満”となる様にある正の数δが取れる」となる。
  • あまり直感に訴える述語じゃないので、「大学数学についていけるかどうかはここが境目」


関数の極限(ε-δ論法)
http://homepage3.nifty.com/rikei-inde...

  • 「 任意のεをとって、f(x)が c±εの範囲に収まるようなδが存在するだろうか?」 と考えるのである。
  • つまり、εはどんなに小さくてもよい

このポイントを動画で解説:

▶ 【微分積分】関数の連続性(イプシロン・デルタ論法) - YouTube
https://www.youtube.com/watch?v=I0htQ...

  • 2011/08/05 にアップロード, by Kenichi Bannai

(3)難しいので人気もなく,必要性すら疑われる始末

イメージせずに記号だけで学ぶと,ε・δについてゆけなくなる。

この部分はつまずく人が多い。

ε-δ論法その1「極限」
http://www2.odn.ne.jp/dokatin/ipusipo...

  • 大学に入って数学を学ぶ上でまずつまずくのが、この「ε-δ論法」


工学や物理には必要ないから,教えなくてよい・学ばなくてよい,という声すらもある。

イプシロン・デルタ(ε−δ)論法による極限の定義: テンメイのRUN&BIKE
http://tenmei.cocolog-nifty.com/match...

  • 最近は大学でさえ扱いが減ってるようだ。
  • あまりに理屈っぽくて分かりにくいということで学生に不人気だし、物理を始めとする自然科学系の議論にもほとんど必要ないから


イプシロン-デルタ論法の説明を抜け出して遊園地に行って くげぬまプールガーデンを目指すっていう夢をみた話 - ララララLife goes on
http://takahiko.hatenablog.jp/entry/k...

  • アレ,工学系が勉強しても役にたたない. 難しいし長いんだよね.


εδ論法
http://math-lab.main.jp/Q&As01.html

  • 慣れれば、大した論法ではないのですが,ろくな説明もしないで使われると分からないのは仕方ないことと思います.
  • それに,数学科ならともかく,他の学科の1年生で必要なのか疑問に思います.

おまけ

ちなみに,ε・δ論法の「ε」という文字を使うのは,英語のExistence(存在)が由来。

ε・δ論法と算術化: 大学数学はなぜむつかしく感じるのか? | 愛と改革の国際関係論
http://blue.ap.teacup.com/qmss/2638.html

  • 正の数を自由に設定します。小さいものでも大きいなものでも結構、とにかく自由な正の実数です。
  • これをギリシア文字のεで示しますが、英語の Existance(存在)の頭文字Eに相当する文字

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