わかりやすく解説
数学の解説コラムの目次へ 現代数学の「大域解析」「大域幾何」とは何なのか,わかりやすくまとめてみた。 大域解析学とは,簡単に言うと: 多様体上の解析学を,大域的に研究する理論。 コンパクトな(閉じた)多様体上で,ラプラス方程式などの楕円型方程…
数学の解説コラムの目次へ 微分方程式に対するガロア理論,すなわち「微分ガロア理論」について知るためのわかりやすい解説。 歴史的な背景や,数学的なツール,応用例など。 代数的ガロア理論と,微分ガロア理論の違い 群を使って,微分方程式の解きやすさ…
物理学の解説コラムの目次へ 「ミリグラム」「ナノグラム」などの小さな重量の単位を,身近な具体例で表してみよう。具体的にどれぐらいの重さなのかイメージしやすくなる。 (1) 1グラム・・・1円玉1つ分の重さ (2) 1ミリグラム・・・塩10つぶの…
本サイト内で,数学のコラム・分かりやすい解説記事の目次。 中学と高校の数学: 大学の解析学: 大学の線型代数・行列論: 数論: 幾何学 代数学: その他,数学に関するまとめ: 中学と高校の数学: 角度を求める,シンプルだが難しい問題「ラングレーの問…
物理学の解説コラムの目次へ 「場の理論」を分類した際の「古典」「量子」の違いを, アスキーアート(AA)でわかりやすく説明。 (1)古典力学からスタートする場合 (2)解析力学からスタートする場合 (1)古典力学からスタートする場合 まず古典力学…
物理学の解説コラムの目次へ 「場の理論」を,「相対論的・非相対論的」 「古典論・量子論」の違いで分類してみよう。 4つの分類がある 説明用のアスキーアート (1)「非相対論的」量子力学と,「相対論的」量子力学の違い (2)「相対論的」場の量子論…
数学の解説コラムの目次へ 大学に入学したての数学で, まずつまずくのは,イプシロン・デルタ論法。大学一年生の最難関といってよい。 このε・δ論法,わかりやすく言い換えるとじつは簡単だ。 (1)まずは目的,および普通の定義 (2)わかりやすく言い換…
数学の解説コラムの目次へ 線型代数のつまずきやすい用語 「行列式」「余因子展開」「クラメルの公式」 などをわかりやすく整理する。 (1)「線型代数の目的」は? (2)「逆行列を求めること」に注目すると,「クラメル・余因子・行列式」が現れる (3…
数学の解説コラムの目次へ 線型代数・行列論を勉強すると出てくる「Ker」と「Im」の意味を,わかりやすく捉え直してみよう。 電通大の中の人も,「核と像は,一番わかりづらい概念」と言っている。 像と核とは何者なのか -UEC Advent Calendar 2013- - 何か…
物理学の解説コラムの目次へ 「3体問題」は,解けないことが証明されている。これは「可積分系」に関する力学系の問題。解析力学や数理物理学の中でも,力学系の入門的なトピックだ。(※力学ではなく力学「系」なので注意) (1)なぜ解けないのか? (2…
数学の解説コラムの目次へ 「一般化逆行列」とか,「擬似逆行列」という行列の工学上のツールがある。この行列を理解するために必要な情報をまとめた。 (1)「一般化逆行列」(擬似逆行列)とは何か? (2)どのような計算により,二乗誤差を最小化するの…
数学の解説コラムの目次へ 微分方程式を解くためのツールとして, 物理学でよく現れるのがグリーン関数。グリーン関数はよくわからない,という人が多い。しかし,物理的なイメージを把握すれば理解できる。 電磁気学でグリーン関数が出てくるのは,ポアソン…
数学の解説コラムの目次へ 微分形式・外積代数と外微分は,微分幾何学のツールであり,これを使うと「物理学の諸法則をシンプルに美しく記述できる」というメリットがある。以下でそれぞれ意味を解説。 物理法則をシンプルに書ける「微分形式」 微分形式同士…
物理学の解説コラムの目次へ 力学から解析力学に移行するとき,どうも抽象的で分かりづらい,と感じる人がいる。しかし・・・ 解析力学のキーは「保存量」である,ということを見抜いていれば,この違和感を乗り越えられる。 「変化する物」を追いかけるのが…
数学の解説コラムの目次へ 大学で学ぶ微積分の重要キーワード「全微分」について,イメージをわかりやすく解説する。 (1)「変化の理由」を全て考慮したトータルの変化量=全微分 (2)「細かいものが複数,組み合わさる」という時に全微分が必要 (3)…
物理学の解説コラムの目次へ 物理学の素粒子論で現れる「光子(こうし)」についてのまとめ。 (1) 粒子性を強調すると「光子」,波動性を強調すると「電磁波・光」 (2) 光子の大きさ・質量・電荷・寿命などの性質 (3) 光子の素粒子としての分類につ…
物理学の解説コラムの目次へ 量子電磁気学を考えるためには,「繰り込み理論」が非常に重要なキーポイントだ。発散の問題を解決するためにどうしても必要な数学的なツール,それが繰り込み。 量子電磁気学に不可欠な「繰り込み」 解決というより,一つの数学…
数学の解説コラムの目次へ ネイピア数 e の性質について。自然対数の底 e がどうやって発見されたかなど。 eの性質が発見されてきた経緯まとめ eの発見 微積分でもeが現れる 数論的な超越性 eの性質が発見されてきた経緯まとめ 下記にeの基礎的な性質や諸公…
「全員が皆とペアになれるグループ分け」の組み合わせを考えてみよう。 問題設定 全部で32人いるとして,これを毎週グループに分ける。グループに分ける際,各メンバーが他の人とできるだけ多く組めるようにし, 最終的には他の全員とペアになれるようにした…
数学の解説コラムの目次へ 数学の分野の分け方は,大まかなものから細かい高度なものまである。しかし大きな柱は3本だ。解析,代数,幾何の3つを知っておけば,ほかはその組み合わせとして細かく分類できる。 数学のジャンルの3本柱 解析学 無限や収束を…
数学の解説コラムの目次へ 一変数の漸化式,たとえば a_n についての漸化式は,簡単に解ける。特性多項式をたてればよい。 では一変数ではなく二次元だと,漸化式の解法はどうなるか?隣接した多項の1変数漸化式ではない。 a_n と b_n のように二変数という…
物理学の解説コラムの目次へ 弱い相互作用の研究に役立ち,天体物理学にも貢献している素粒子,それがニュートリノ。 下記では,このニュートリノについての基本的なトピックスをまとめる。 ニュートリノとは何か。どういう性質を持っているか。 ニュートリ…
物理学の解説コラムの目次へ 地球を太陽風から守る磁場のシールドが,オーロラを起こす仕組みについて。要点を述べると, 「地磁気が太陽風を防ぐ時に, 北極と南極の近くでは磁力線が地球に吸い込まれるので, そこで太陽風の名残と地球の空気が衝突して光…
物理学の解説コラムの目次へ ヒッグス粒子のおかげで,全てのものに質量が生まれた。 はじめ,素粒子には質量がなかった。そのため,すべての素粒子は光速で飛び回っていた。 ところが,ビッグバンから少し経つと,真空中を「ヒッグス粒子の場」(ヒッグス場…