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現代数学で「大域解析学・大域幾何学」と「局所解析学」「基礎解析学」の違いは何かまとめ。多様体上で不連続群を使って微分方程式を調べる

数学の解説コラムの目次へ 現代数学の「大域解析」「大域幾何」とは何なのか,わかりやすくまとめてみた。 大域解析学とは,簡単に言うと: 多様体上の解析学を,大域的に研究する理論。 コンパクトな(閉じた)多様体上で,ラプラス方程式などの楕円型方程…

「微分ガロア理論」とは何か,入門用にわかりやすく解説。「微分方程式が解ける条件」を群論で表現する

数学の解説コラムの目次へ 微分方程式に対するガロア理論,すなわち「微分ガロア理論」について知るためのわかりやすい解説。 歴史的な背景や,数学的なツール,応用例など。 代数的ガロア理論と,微分ガロア理論の違い 群を使って,微分方程式の解きやすさ…

小さな重さの単位の具体例。1ミリグラムは塩10粒,1マイクログラムは砂粒,1ナノグラムは細胞一つの重量と同じ

物理学の解説コラムの目次へ 「ミリグラム」「ナノグラム」などの小さな重量の単位を,身近な具体例で表してみよう。具体的にどれぐらいの重さなのかイメージしやすくなる。 (1) 1グラム・・・1円玉1つ分の重さ (2) 1ミリグラム・・・塩10つぶの…

数学のコラム・分かりやすい解説記事のまとめ目次

本サイト内で,数学のコラム・分かりやすい解説記事の目次。 中学と高校の数学: 大学の解析学: 大学の線型代数・行列論: 数論: 幾何学 代数学: その他,数学に関するまとめ: 中学と高校の数学: 角度を求める,シンプルだが難しい問題「ラングレーの問…

物理学で「場の理論」の分類で,「場の古典論 / 場の量子論」の違いをわかりやすくアスキーアートで説明。「場の解析」と解析力学の関係も

物理学の解説コラムの目次へ 「場の理論」を分類した際の「古典」「量子」の違いを, アスキーアート(AA)でわかりやすく説明。 (1)古典力学からスタートする場合 (2)解析力学からスタートする場合 (1)古典力学からスタートする場合 まず古典力学…

物理学の「場の理論」を,「相対論的・非相対論的」「古典論・量子論」で分類したわかりやすいアスキーアート。非相対論的な場の量子論は主に物性分野

物理学の解説コラムの目次へ 「場の理論」を,「相対論的・非相対論的」 「古典論・量子論」の違いで分類してみよう。 4つの分類がある 説明用のアスキーアート (1)「非相対論的」量子力学と,「相対論的」量子力学の違い (2)「相対論的」場の量子論…

大学数学のε-δ論法は,関数の極限の定義を厳密化。わかりやすい意味は,yの誤差を小さくするようなxの誤差が存在ということ

数学の解説コラムの目次へ 大学に入学したての数学で, まずつまずくのは,イプシロン・デルタ論法。大学一年生の最難関といってよい。 このε・δ論法,わかりやすく言い換えるとじつは簡単だ。 (1)まずは目的,および普通の定義 (2)わかりやすく言い換…

線型代数・行列論で「行列式」「余因子展開」「クラメルの公式」の関係と,何に役立つのかのまとめ

数学の解説コラムの目次へ 線型代数のつまずきやすい用語 「行列式」「余因子展開」「クラメルの公式」 などをわかりやすく整理する。 (1)「線型代数の目的」は? (2)「逆行列を求めること」に注目すると,「クラメル・余因子・行列式」が現れる (3…

線型代数で像Imと核Kerの意味・イメージをわかりやすく説明。単射かどうか調べる道具で,固有値問題やランク落ちの記述に多用

数学の解説コラムの目次へ 線型代数・行列論を勉強すると出てくる「Ker」と「Im」の意味を,わかりやすく捉え直してみよう。 電通大の中の人も,「核と像は,一番わかりづらい概念」と言っている。 像と核とは何者なのか -UEC Advent Calendar 2013- - 何か…

3体問題が解けない証明は,可積分系(力学系・一般力学)での第一積分の探索でわかる

物理学の解説コラムの目次へ 「3体問題」は,解けないことが証明されている。これは「可積分系」に関する力学系の問題。解析力学や数理物理学の中でも,力学系の入門的なトピックだ。(※力学ではなく力学「系」なので注意) (1)なぜ解けないのか? (2…

擬似逆行列・一般化逆行列は,画像処理や計測工学・ロボット工学で応用される,最小二乗法による誤差最小の逆行列

数学の解説コラムの目次へ 「一般化逆行列」とか,「擬似逆行列」という行列の工学上のツールがある。この行列を理解するために必要な情報をまとめた。 (1)「一般化逆行列」(擬似逆行列)とは何か? (2)どのような計算により,二乗誤差を最小化するの…

グリーン関数の意味は,点電荷が作る静電ポテンシャル。電磁気学や量子力学で線形作用素の逆演算

数学の解説コラムの目次へ 微分方程式を解くためのツールとして, 物理学でよく現れるのがグリーン関数。グリーン関数はよくわからない,という人が多い。しかし,物理的なイメージを把握すれば理解できる。 電磁気学でグリーン関数が出てくるのは,ポアソン…

微分形式・外積代数・外微分等を使う微分幾何学。物理法則をシンプルに記述

数学の解説コラムの目次へ 微分形式・外積代数と外微分は,微分幾何学のツールであり,これを使うと「物理学の諸法則をシンプルに美しく記述できる」というメリットがある。以下でそれぞれ意味を解説。 物理法則をシンプルに書ける「微分形式」 微分形式同士…

力学と解析力学の違い。変化量でなく保存量に注目。座標系を一般化

物理学の解説コラムの目次へ 力学から解析力学に移行するとき,どうも抽象的で分かりづらい,と感じる人がいる。しかし・・・ 解析力学のキーは「保存量」である,ということを見抜いていれば,この違和感を乗り越えられる。 「変化する物」を追いかけるのが…

全微分とは偏微分の線形和で,意味は「変化の原因」を全て足し合わせること

数学の解説コラムの目次へ 大学で学ぶ微積分の重要キーワード「全微分」について,イメージをわかりやすく解説する。 (1)「変化の理由」を全て考慮したトータルの変化量=全微分 (2)「細かいものが複数,組み合わさる」という時に全微分が必要 (3)…

光子の性質のまとめ。電磁波や光と同じ物。ゲージ粒子のボソンであり,質量や大きさゼロ。電子の運動や準位変化で放出,光電効果で消滅

物理学の解説コラムの目次へ 物理学の素粒子論で現れる「光子(こうし)」についてのまとめ。 (1) 粒子性を強調すると「光子」,波動性を強調すると「電磁波・光」 (2) 光子の大きさ・質量・電荷・寿命などの性質 (3) 光子の素粒子としての分類につ…

繰り込み理論は,場の量子論の摂動の紫外発散を解決し,量子電磁力学を成立させる

物理学の解説コラムの目次へ 量子電磁気学を考えるためには,「繰り込み理論」が非常に重要なキーポイントだ。発散の問題を解決するためにどうしても必要な数学的なツール,それが繰り込み。 量子電磁気学に不可欠な「繰り込み」 解決というより,一つの数学…

自然対数の底e(ネイピア数)の,無理数や超越数・極限収束の証明などの公式

数学の解説コラムの目次へ ネイピア数 e の性質について。自然対数の底 e がどうやって発見されたかなど。 eの性質が発見されてきた経緯まとめ eの発見 微積分でもeが現れる 数論的な超越性 eの性質が発見されてきた経緯まとめ 下記にeの基礎的な性質や諸公…

ソーシャル・ゴルファー問題とは,「全員が皆とペアになれるグループ分け」の組み合わせ最適化問題 (Social Golfer Problem, SGP)

「全員が皆とペアになれるグループ分け」の組み合わせを考えてみよう。 問題設定 全部で32人いるとして,これを毎週グループに分ける。グループに分ける際,各メンバーが他の人とできるだけ多く組めるようにし, 最終的には他の全員とペアになれるようにした…

数学の分野(ジャンル)の一覧

数学の解説コラムの目次へ 数学の分野の分け方は,大まかなものから細かい高度なものまである。しかし大きな柱は3本だ。解析,代数,幾何の3つを知っておけば,ほかはその組み合わせとして細かく分類できる。 数学のジャンルの3本柱 解析学 無限や収束を…

二変数または多変数の漸化式は,特性多項式で解ける

数学の解説コラムの目次へ 一変数の漸化式,たとえば a_n についての漸化式は,簡単に解ける。特性多項式をたてればよい。 では一変数ではなく二次元だと,漸化式の解法はどうなるか?隣接した多項の1変数漸化式ではない。 a_n と b_n のように二変数という…

ニュートリノとは,宇宙の観測に役立つ素粒子で,速度は光速を超えない

物理学の解説コラムの目次へ 弱い相互作用の研究に役立ち,天体物理学にも貢献している素粒子,それがニュートリノ。 下記では,このニュートリノについての基本的なトピックスをまとめる。 ニュートリノとは何か。どういう性質を持っているか。 ニュートリ…

地球を太陽風から守る磁場のシールドが,オーロラを起こす仕組み。地磁気がプラズマを阻み,極地で空気と衝突して発光

物理学の解説コラムの目次へ 地球を太陽風から守る磁場のシールドが,オーロラを起こす仕組みについて。要点を述べると, 「地磁気が太陽風を防ぐ時に, 北極と南極の近くでは磁力線が地球に吸い込まれるので, そこで太陽風の名残と地球の空気が衝突して光…

ヒッグス粒子によって素粒子が質量を獲得するあらすじ

物理学の解説コラムの目次へ ヒッグス粒子のおかげで,全てのものに質量が生まれた。 はじめ,素粒子には質量がなかった。そのため,すべての素粒子は光速で飛び回っていた。 ところが,ビッグバンから少し経つと,真空中を「ヒッグス粒子の場」(ヒッグス場…